Математик нашел контрпример к гипотезе Якобиана с помощью ИИ

В начале этой недели, когда миллионы людей отходили от финала чемпионата мира по футболу, в математическом сообществе нарастало волнение другого рода. Левант Альпёге, математик, работающий в компании Anthropic, небрежно объявил в X, что нашел контрпример к гипотезе Якобиана — старой и известной проблеме в алгебраической геометрии. Он сделал это с помощью большой языковой модели Claude Fable 5, выпущенной всего несколько недель назад. Данную информацию сообщает портал Phys.org.

Гипотеза Якобиана касается функций, которые перемещают точки в пространстве. Если определитель Якобиана — постоянное ненулевое число, то функция не складывает и не сжимает пространство. Гипотеза утверждает, что в таком случае должна существовать обратная функция, тоже из многочленов, возвращающая все точки на исходные места. Двумерная версия гипотезы была сформулирована чешским математиком Людвигом Краусом в 1884 году, а обобщена на любое число измерений немцем Оттом-Генрихом Келлером в 1939-м.

За свою долгую историю гипотеза пережила множество заявленных доказательств, в том числе от Бениамино Сегре и Вольфганга Грёбнера, но в каждом случае находились тонкие ошибки. Были и успешные попытки доказать гипотезу при различных ограничениях, а компьютерные результаты показали ее истинность в двух измерениях для многочленов степени до 100. Однако общий случай оставался недоказанным, и никто не находил контрпримера.

Альпёге нашел функцию в трех измерениях с постоянным определителем Якобиана, равным -2, которая переводит несколько входных точек в одну выходную — то есть необратима. Это показывает, что гипотеза ложна для всех размерностей больше 2, а исходная двумерная гипотеза остается открытой. Контрпример настолько короток, что умещается в один пост в X, и другие математики легко его проверили.

Открытие Альпёге — последнее в череде громких математических прорывов с участием больших языковых моделей. Ранее OpenAI опровергла гипотезу о расстоянии между единицами, а 23-летний любитель Лиам Прайс доказал задачу Эрдёша №1196. Эти примеры показывают, что ИИ способен комбинировать идеи из разных областей математики. В случае с гипотезой Якобиана сложность заключалась не в построении сложной конструкции, а в поиске подходящего отображения в огромном пространстве возможных многочленов. Это говорит о том, что ИИ может быть столь же ценен для обнаружения неожиданных математических объектов, как и для построения доказательств.